中国科学技术大学干部培训

近日，中国科学技术大学数学科学学院黄文教授、许雷叶特任教授与伦敦玛丽女王大学Oliver Jenkinson教授、安徽理工大学张一威教授合作，在符号动力系统的通有周期最优化问题上取得重要进展。研究团队针对具有弱双曲性但Mañé上同调引理不成立的动力系统，发展了最大化集的理论。该理论建立了一个结构定理，有效地分离出系统中可能阻碍通有周期最优化的部分，进而证明了符号动力系统的通有周期最优化与边界最优化二分定理。相关研究成果以"Typical periodic optimization for dynamical systems: Symbolic dynamics"为题，于2026年3月5日在线发表在《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）。

黄文、许雷叶与合作者Oliver Jenkinson、张一威针对具有弱双曲性但Mañé上同调引理不成立的动力系统(X,T)，发展了最大化集以及可数可最大化族的理论，用于研究Lipschitz范畴下的通有周期最优化问题，即证明存在Lipschitz函数空间Lip(X)的一个开稠密子集，其中每个函数都具有唯一的最大化测度，且该测度为周期测度（即单条周期轨道上的均匀分布）。对于具有可数可最大化族的动力系统(X,T)，他们建立了一个一般的结构定理，将Lip(X)的某个开稠密子集表示为两个开集的并：一个对应于周期测度，另一个对应于（潜在的）非周期测度。这有效地分离出系统中可能阻碍通有周期最优化的部分，而对该部分（对应于所谓的系统边界）的进一步分析，将有助于揭示周期最优化是否为通有的。

在符号动力系统框架下，该结构定理得到进一步深化，由此证明了符号动力系统的通有周期最优化与边界最优化二分定理：对于任意给定的有限字母表的移位空间X，存在Lip(X)的一个开稠密子集，其中每个函数的最大化测度要么是周期测度，要么支撑在该移位空间的Markov边界上。由此可得，Contreras关于有限型移位的通有周期最优化定理（《数学新进展》2016年）可以推广到更广泛的移位空间类，包括所有sofic移位。

此外，该结构定理还被用于构造反例：存在一类移位空间，其周期测度在全体不变测度中稠密，但通有周期最优化性质却不成立。其思路是：首先选取一个合适的（极小的、唯一遍历的、非周期的）移位系统 Z（例如Morse移位），然后通过在一个特定的稀疏的 Z-允许块集合之间插入一个新符号来构造一个移位空间X，使得X的Markov边界恰为Z，并且Z上的唯一不变（非周期）测度在 Lip(X) 中是鲁棒最大化的。

上述研究工作得到国家重点研发计划“数学和应用研究”重点专项、国家自然科学基金的支持。

论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-026-01411-x

（数学科学学院、科研部）